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Questo articolo è stato pubblicato su “SCIENZA E MESTIERI”, la rivista dell’Ordine degli Ingegneri di Trento

Nel presente articolo parleremo di una metodologia di analisi strutturale nota come FEM: Finite Element Method ed illustreremo un’ applicazione ad un caso concreto di una macchina movimento terra. Il metodo in questione permette di analizzare lo stress interno di singole parti o di assiemi strutturali delle macchine, presentandolo poi in forma di una mappa tridimensionale a colori dove, ad ogni colore, corrisponde un intervallo di valori dello stress. Questo metodo viene correntemente applicato anche in molti altri campi come l’edilizia per analisi volte a stabilire, per esempio, la risposta ad eventi sismici di un fabbricato.
La teoria alla base di questo metodo è molto complessa. In proposito esistono numerosi testi che la illustrano e a cui rimandiamo per ulteriori approfondimenti. Tuttavia, in estrema sintesi e con vistose semplificazioni, diremo che il metodo consiste nel suddividere il corpo da studiare, rappresentato mediante un modello geometrico ottenuto con un CAD tridimensionale, in tanti elementi di forma semplice. Questa suddivisione prende il nome di MESH e può essere fatta manualmente od in maniera automatica con opportuni algoritmi, detti meshatori. Per la mesh usano tre tipi di elementi: i solidi (di solito tetraedri), i gusci (elementi bidimensionali quali triangoli o trapezi, chiamati anche shells,) e le travi (elementi monodimensionali chiamati anche beams), secondo la tipologia di solido da modellare. Infatti, per solidi a spessore costante come le lamiere si usano i gusci, per gli elementi a sezione costante si usano le travi, mentre i solidi si usano in tutti gli altri casi. I vertici di ciascun elemento della mesh vengono chiamati nodi. Ovviamente, più si infittisce la mesh, aumentando il numero dei nodi e quindi degli elementi che avranno dimensione minore, più aumenta la precisione, a prezzo di un aumento dei tempi di calcolo e della complessità del modello. Alcuni programmi prevedono però la gestione dell’elemento della mesh mediante un polinomio di controllo con grado variabile: l’aumento del grado dell’esponente equivale ad un infittimento della mesh. Il metodo prevede anche l’ introduzione di vincoli sia rigidi che cedevoli, l’applicazione di forze, pressioni, coppie per definire le condizioni al contorno del modello. In base agli elementi della mesh con cui si è modellata la geometria, si costruisce poi la matrice di rigidezza, dato che a ciascun elemento vengono assegnate le proprietà meccaniche e fisiche relative al materiale che lo costituisce, come il modulo di Young, la massa volumica, etc. Matematicamente si ha infatti:
{F}=[A] {u}
secondo la legge di Hook, dove {F} è il vettore dei carichi applicati dall’esterno, {u} è il vettore degli spostamenti nodali, [A] è la matrice di rigidezza. La formula enunciata esprime in maniera sintetica il sistema di equazioni differenziali che descrivono il comportamento di ciascun elemento della mesh. Ricordiamo che la legge di Hook è quella che, nella sua formulazione di base, lega la forza applicata ad una molla alla sua deformazione attraverso la costante elastica, F=kx. Qui chiaramente si tratta di una estensione (piuttosto complessa) di questo semplice concetto. L’algoritmo di soluzione calcola la matrice inversa di [A], in modo da ottenere il vettore degli spostamenti nodali:
{u} =[A]-1 {F}
a partire dal quale si calcolano tutte le altre grandezze meccaniche, come tensioni e deformazioni. L’analisi può essere condotta sia in campo elastico lineare, sia nel campo non lineare. Questo permette l’applicazione del metodo anche ai casi di deformazione plastica ed a tutti i casi in cui si supera la tensione di snervamento, a seconda del software di calcolo di cui si dispone. I risultati del calcolo vengono elaborati e presentati con una mappa tridimensionale degli spostamenti nodali della struttura da cui si possono calcolare e rappresentare tutte le altre grandezze meccaniche di interesse, come lo stress interno e l’energia di deformazione. Tutte le grandezze vengono rappresentate, come detto, in mappe colorate tridimensionali. La vera difficoltà nell’applicazione del metodo consiste nell’individuazione delle condizioni al contorno, che si traducono in carichi e vincoli applicati al modello: questi infatti devono riprodurre fedelmente le condizioni fisiche che vogliamo simulare. Per esempio, una errata applicazione dei vincoli può aggiungere delle iperstaticità non congruenti con la realtà ed introdurre così delle sollecitazioni aggiuntive, che non rispecchiano la situazione reale. Così pure se si applicano carichi non corretti, si arriva a risultati non significativi. Inoltre, una volta determinata la condizione di vincolo, va sempre condotta l’analisi cinematica del sistema, per verificarne l’aderenza alla realtà, considerando il fatto che i vincoli sono spesso applicati anche internamente alla struttura, per simulare la presenza di meccanismi e cinematismi. Spesso la parte più dispendiosa dell’analisi, in termini di tempo, è proprio la definizione e la verifica delle condizioni al contorno.
Passiamo allora ad illustrare un caso concreto di applicazione: la manovra di STUMPING di una macchina APRIPISTA (meglio conosciuta come Dozer). Per inciso l’apripista è la macchina edile che, per prima, tratta il terreno su cui si dovrà costruire: si tratta spesso di terreni vergini, mai lavorati. La manovra consiste nel cercare di scalzare una radice di un albero dal terreno. In condizioni limite questo si fa con una estremità della lama, azionando contemporaneamente i martinetti idraulici per sollevare la lama e la spinta dei cingoli. È questa una condizione di impiego della macchina molto gravosa, anche se ricorrente, in cui si chiede il massimo della prestazione. Sotto l’azione combinata delle due forze, la macchina solleva la parte posteriore, come si vede nelle figure sottostanti, che si riferiscono ad una prova di laboratorio.

Nel caso in esame è stata condotta l’analisi dello stress sull’arcone che sostiene la lama, partendo dal modello solido realizzato al CAD. Le immagini che seguono illustrano il modello CAD ed il modello FEM completo dell’arcone.

La lama è stata rappresentata utilizzando degli elementi trave (cilindri di colore verde) con la stessa rigidezza complessiva della lama. Quest’ultima viene semplificata, non essendo oggetto dell’indagine, ma è comunque necessario simularne la presenza. Si notino poi gli elementi guscio di colore verde, che simulano il comportamento delle parti in lamiera e gli elementi solidi in blu. I triangoli in  giallo sono i vincoli e le frecce rappresentano i carichi applicati sia dai martinetti idraulici, che dalla spinta dei cingoli. I cerchi rappresentano i vincoli interni, che modellano le cerniere alle estremità dei martinetti idraulici. Questi ultimi sono rappresentati sempre con elementi trave di rigidezza adeguata. La definizione delle condizioni al contorno deriva dall’attenta osservazione della macchina reale durante l’operazione di stumping sul campo; nel caso delle macchine movimento terra infatti, occorre dedicare del tempo all’osservazione delle macchine al lavoro.

Per inciso, va detto che l’intero apripista in questo caso, si comporta come una leva infulcrata sulla ruota anteriore del cingolo, alle estremità della quale ci sono la forza opposta dalla radice al tentativo di estrazione da un lato, ed il peso della macchina considerato applicato al suo baricentro, dall’altro. Detto questo e con ragionamenti aggiuntivi, si arriva facilmente alla definizione dei carichi e dei vincoli da applicare al modello. In particolare si considerano le due cerniere applicate posteriormente all’arcone, nella zona in cui è collegato al telaio a mezzo di perni. In corrispondenza del punto in cui ipoteticamente c’è la radice da scalzare, è stato inserito un vincolo alla traslazione verticale. Per quanto riguarda i carichi abbiamo due forze verso l’alto che modellano l’azione dei martinetti di sollevamento ed una forza orizzontale che tiene conto della spinta dei cingoli. Una volta completato il modello, va impostato il calcolo, definendo il tipo di analisi che si vuole condurre. In questo caso si tratta di una analisi statica. Con le potenze di calcolo disponibili sulle macchine oggigiorno in commercio, anche di fascia media, in pochi minuti si riesce ad ottenere una mappa completa degli spostamenti nodali, delle deformazioni e delle tensioni. Normalmente si considera lo stress di Von Mises come grandezza significativa per individuare le zone più sollecitate. Le figure che seguono illustrano il risultato del calcolo eseguito sul modello descritto sopra. Per le tensioni di Von Mises si è stabilito un livello di tensione ammissibile pari a 250 MPa, trattandosi di normale acciaio da costruzione. Le mappe mostrano anche la “deformata” della struttura.

Dalla mappa si vedono chiaramente le aree più sollecitate e le zone dove si hanno concentrazioni di tensione, di colore rosso, dove si supera la tensione ammissibile. Una verifica sulla bontà dei risultati viene anche dalla attenta analisi della deformata: essa infatti deve essere coerente con quanto accade realmente sulla struttura in esame.

La conoscenza dettagliata della distribuzione dello stress sulle parti delle macchine è preziosissima per il progettista, che può così valutare la bontà della soluzione approntata, ancora prima di realizzarla e testarla. Non solo: il fatto di poter apportare modifiche al modello FEM, dettate da un’analisi critica del risultato del calcolo, permette di poter arrivare attraverso successive iterazioni, alla soluzione ottimale, con un corretto dimensionamento delle parti della macchina. Il metodo permette di analizzare più condizioni di carico della macchina, di combinarle tra loro o di osservarle separatamente.  È evidente che tutto questo consente di ridurre i costi per la realizzazione dei prototipi e per le prove su questi ultimi. Come già ricordato però, è necessario definire correttamente il modello e le condizioni al contorno (l’insieme di carichi e vincoli), ciò rappresenta il vero valore aggiunto da parte di chi esegue l’analisi e sull’importanza di questa parte del metodo non si insiste mai abbastanza.

Nelle figure che seguono è possibile vedere altri esempi di applicazione dell’analisi FEM, relativi ad altre tipologie di macchine, insieme ai risultati di un telaio di apripista

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